▷ Como calcular la pendiente de una funcion

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Supongamos que \(y = f(x)\Nes una función no lineal. Además, supongamos que queremos medir la pendiente de la función \(y = f(x)\) en el punto \(x_{0}\). Gráficamente, para medir la pendiente de la función en \(x_{0}) tenemos que trazar una recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \((x_{0}, f(x_{0}))\N.) Si la tangente trazada en \((x_{0}, f(x_{0}))\Nes única, la pendiente de la recta tangente es una muy buena medida de la pendiente de la función \N(y = f(x)\Nen el punto \N((x_{0}, f(x_{0})\N.) La pendiente de la recta tangente puede ser diferente en distintos puntos de una función no lineal.

La figura 1 (\(a\)) muestra la recta tangente a una función no lineal \(y = f(x)\) en un punto \(x_{0}\). La figura 1 (\(b\)) muestra dos rectas tangentes a la misma función no lineal \(y = f(x)\) en dos puntos diferentes.

cómo encontrar la pendiente de una gráfica

Laura obtuvo un máster en Matemáticas Puras en la Universidad Estatal de Michigan y una licenciatura en Matemáticas en la Universidad Estatal de Grand Valley. Tiene 20 años de experiencia en la enseñanza de las matemáticas universitarias en varias instituciones.

En esta lección, usaremos definiciones y ejemplos para ver la relación entre la pendiente y la derivada de una función. Al hacer esto, veremos cómo encontrar la pendiente de una función en un punto dado.

Derivada y pendienteSupongamos que tienes una piscina y que la temporada de piscina está llegando a su fin. Esto significa que tienes que cerrar tu piscina, lo que implica vaciar el agua de la misma. La máquina de bombeo que estás utilizando drena de tal manera que la cantidad de agua, en galones, que queda en la piscina después de x minutos de drenaje viene dada por la siguiente función A(x) = 4x 2 – 320x + 6400 La gráfica de esta función se muestra aquí:

¿Sabías que podemos calcular la velocidad de vaciado de la piscina después de un número determinado de minutos de vaciado? Es realmente fascinante. Todo está relacionado con la derivada de la función. Cuando escuchaste la palabra “tasa”, tal vez esperabas que dijera que todo se relaciona con la pendiente de la función. Después de todo, la pendiente de una función da la velocidad a la que el valor de la función cambia con respecto a x. ¡Por supuesto! Cuando tenemos una recta, la pendiente es constante y bastante fácil de encontrar. Simplemente encontramos dos puntos de la recta y utilizamos la fórmula de la pendiente para calcularla. Que, como puedes ver aquí, es simplemente:

cómo encontrar la pendiente de una función en un punto determinado

La pendiente, a veces denominada gradiente en matemáticas, es un número que mide la inclinación y la dirección de una línea, o de una sección de una línea que conecta dos puntos, y se suele denotar por m. Generalmente, la inclinación de una línea se mide por el valor absoluto de su pendiente, m. Cuanto mayor es el valor, más inclinada es la línea. Dado m, es posible determinar la dirección de la línea que describe m basándose en su signo y valor:

La pendiente es esencialmente el cambio en la altura sobre el cambio en la distancia horizontal, y a menudo se denomina “subida sobre bajada”. Tiene aplicaciones en gradientes en geografía y en ingeniería civil, como la construcción de carreteras. En el caso de una carretera, la “subida” es el cambio de altitud, mientras que el “recorrido” es la diferencia de distancia entre dos puntos fijos, siempre que la distancia para la medición no sea lo suficientemente grande como para que la curvatura de la tierra deba considerarse como un factor. La pendiente se representa matemáticamente como:

La ecuación anterior es el teorema de Pitágoras en su raíz, donde la hipotenusa d ya ha sido resuelta, y los otros dos lados del triángulo se determinan restando los dos valores de x e y dados por dos puntos. Dados dos puntos, es posible encontrar θ mediante la siguiente ecuación:

cómo encontrar la pendiente de una tabla de funciones

En la figura siguiente, hay una función lineal trazada en una gráfica. Si queremos encontrar la pendiente de esta función, debemos elegir dos puntos de la recta y utilizar la ecuación (1). Utilicemos (x2, y2) y (x3, y3). Tendremos:

Un corredor corre durante diferentes intervalos de tiempo, y registra la distancia que corre cada vez. Producen el diagrama de dispersión que se muestra a continuación y le ajustan una recta para hallar la pendiente. ¿Qué encuentran exactamente? ¿Cuáles son las unidades?

Si calculan la pendiente, utilizan la ecuación (1): m = Δy/Δx. Mirando el gráfico, el eje y tiene unidades de distancia y el eje x tiene unidades de tiempo, así que m = Δy/Δx = Δdistancia/Δtiempo. Reconocemos la distancia/tiempo como velocidad. Como se trata de una línea de mejor ajuste, la pendiente es la velocidad media del corredor. Así que para las unidades, en este gráfico la pendiente tiene unidades de metros/segundo.